Afronden op het wiskunde examen

Zo vlak voor de examens krijg ik van veel examenkandidaten de vraag over hoe het nu zit met afronden. Hoe weet je nu op hoeveel decimalen je moet afronden? Verbazingwekkend genoeg een vraag die nog niet zo één, twee, drie te beantwoorden is.

Ik heb zelf altijd wel een antwoord paraat, maar dat is niet zo kort en bondig en misschien ook niet helemaal volledig. Dus ben ik op zoek gegaan naar volledige en beknopte antwoorden. Om te beginnen ben ik gaan kijken op www.examenblad.nl. In eerste instantie lijkt hun antwoord kort en bondig, maar uiteindelijk bleek er toch veel uitleg nodig om het voor leerlingen begrijpelijk te maken.

Hier het antwoord van examenblad voor het examen havo/vwo examen wiskunde A tot en met D:

‘Als in een examenopgave niet vermeld is in welke nauwkeurigheid het antwoord

gegeven dient te worden, dient de kandidaat die nauwkeurigheid uit de  probleemsituatie af te leiden. Het kiezen van een passende maateenheid valt  hieronder. Als de probleemsituatie dit toelaat, mag een nauwkeuriger antwoord  gegeven worden dan de nauwkeurigheid die de kandidaat uit de probleemsituatie afgeleid zou kunnen hebben. Het correctievoorschrift geeft hier uitsluitsel over.  Een kandidaat kan uit de probleemsituatie afleiden wanneer afronden volgens de  gebruikelijke afrondingsregels (6,4 wordt 6 en 6,5 wordt 7) niet van toepassing is. Een kandidaat moet weten dat tussentijds afronden gevolgen kan hebben voor het  eindantwoord en dient hiernaar te handelen.’

 

Hoe zit het nu dus?

Eén ding is heel duidelijk, als er in de opgave vermeld is hoe je moet afronden, dan doe je het op die manier. Of zullen we voor de zekerheid toch even de regels herhalen?

Stel je rekenmachine geeft het volgende antwoord: 56798,25982. Dit is een antwoord in centimeters. Je kunt nu de volgende opdrachten krijgen:

  1. Rond af op 1 decimaal: 56798,3 (achter de 2 staat een 5, dus afronden naar boven).
  2. Rond af op twee decimalen: 56798,26 cm (ook naar boven afronden)
  3. Rond af op drie decimalen: 56798,260 cm (achter de negen staat een 8, dus de negen gaat naar boven en wordt een 10. De 1 van de 10 komt bij de 5 en de 9 wordt een 0)
  4. Rond af op gehelen: 56798 cm (achter de 8 staat een 2, dus naar beneden afronden).
  5. Rond af op tientallen: 56800 cm (798 zit tussen de 790 en de 800, boven de 795, dus afronden naar boven)
  6. Rond af op honderdtallen: 56800 cm
  7. Rond af op duizendtallen: 57000 cm
  8. Geef je antwoord in centimeters nauwkeurig: 56798 cm (afronden op gehele centimeters)
  9. Geef je antwoord in millimeters nauwkeurig: 56798,3 cm of 567983 mm (de hele millimeters moeten af te lezen zijn, maar het antwoord hoeft niet in millimeters te staan).

Poeh zeg! Wat een hoop mogelijkheden.

Als je wiskunde B hebt, dan is het een stuk makkelijker dan bij wiskunde A en C. Bij wiskunde B moet eigenlijk bijna alles exact berekend worden. Dit betekent dat je tussentijds en aan het einde niet mag afronden. Wortels, pi-tekens en breuken blijven dus gewoon staan. Als je wel mag afronden staat er bijna altijd bij op hoeveel decimalen dat moet gebeuren. Je hebt dus vrijwel zeker genoeg aan de bovenstaande regels. Bij wiskunde A en C is het een ander verhaal.

Wat te doen als er dus niet bij staat hoe je moet afronden? Als ik het stukje teruglees, dan kan ik mij voorstellen dat er drie vragen bij leerlingen opkomen:

  1. Hoe haal je de nauwkeurigheid uit de context?
  2. Welke probleemsituaties laten een nauwkeuriger antwoord toe en welke niet?
  3. In welke probleemsituaties is afronden volgens de gebruikelijke regels niet van toepassing?
  4. Hoe zit het met tussentijds afronden?

 

Er zijn op examenblad ook nog twee artikelen te vinden die de vraag wat uitgebreider beantwoorden. De eerste gaat over het tussentijds afronden. De tweede geeft wat verduidelijking op het korte verhaal van examenblad en geeft ook de vernieuwde regels weer. Uit deze artikelen blijkt dat het ook voor docenten niet altijd een helder verhaal is.

1.https://www.examenblad.nl/document/artikel-beoordeling-ce-s-wiskunde/2017/havo/f=/artikel_gelijke_monniken_gelijke_kappen_scan_v2.pdf

2.https://www.examenblad.nl/document/artikel-euclides-vakspecifieke/2017/havo/f=/artikel_euclides_nieuwe_vakspecifieke_regel_wi_h_v.pdf

 

Hieronder heb ik aan de hand van mijn eigen voorbeelden die ik altijd gebruik en aan de hand van de artikelen de bovenstaande vragen A tot en met D beantwoord.

 

De nauwkeurigheid uit de probleemsituatie halen

Hiermee worden twee dingen bedoeld.

  1. Je moet op de hoogte zijn van gebruikelijke afrondingen bij bepaalde eenheden.
  2. Je kijkt naar de afronding van vergelijkbare getallen uit de probleemsituatie.

 

De gebruikelijke afrondingen (op bijna iedere regel zijn uitzonderingen):

  1. Bedragen rond je eigenlijk altijd af op 2 decimalen, gehelen, tientallen, honderdtallen, duizendtallen etc. Dus niet op bijvoorbeeld 3 of 4 decimalen.
  2. Aantallen mensen zijn altijd op gehelen of op tientallen, honderdtallen, duizendtallen etc. Nooit op 1 of 2 decimalen (uitzonderingen bevestigen de regel, bijvoorbeeld bij een gemiddeld aantal kinderen per gezin, dit kan wel op 1 of 2 decimalen zijn).
  3. Procenten doen we op gehelen of op 1 decimaal.
  4. Kansen op minimaal 2, gebruikelijk in de boeken is 3 decimalen.
  5. Als je de groeifactor bij exponentiële groei op 3 decimalen zet zit je goed. Er staat in de regels dat je minimaal 2 decimalen moet hebben. Voor de meeste vraagstukken is dit te onnauwkeurig. Kies er dus 3.
  6. Hoeken doe je op gehele graden of op 1 decimaal. Met 1 decimaal zit je altijd goed.
  7. De lengte van een persoon is in de regel op gehele centimeters of het staat in meters in twee decimalen.
  8. Zo zijn er vast nog meer eenheden die gebruikt worden. Bedenk hierbij op hoeveel decimalen je deze in het dagelijks leven gebruikt.

 

 

De afronding van de getallen in de context

Voorbeeld: Je moet een exponentiële formule opstellen, met t=0 in het jaar 2000, bij de volgende situatie:

In 2001 werd er 12 miljoen euro uitgegeven en in 2009 was dit 20 miljoen. Dan moet je eerst de groeifactor per jaar bepalen. Deze komt op drie decimalen afgerond in je formule te staan. LET OP! Bij het berekenen van je beginbedrag reken je door met de onafgeronde groeifactor. Vervolgens ga je uitrekenen wat je begin uitgave was in het jaar 2000. Omdat de andere uitgaven in gehele miljoenen staan, kies jij ook voor gehele miljoenen, of je rond je miljoenen af op 1 decimaal. Ik zou in dit geval voor één cijfer nauwkeuriger kiezen. Je komt dan uit op 11,3 miljoen voor het jaar 2000. Je kunt hier als regel aanhouden: neem altijd één cijfer extra dan de nauwkeurigheid van de getallen in de probleemsituatie.

 

Nog een voorbeeld:

Staan alle maten van een huis in meters en zijn ze afgerond op 1 decimaal, dan zet jij de uitgerekende hoogte van het dak op 2 decimalen. Vaak staat er in het correctiemodel van het examen bijvoorbeeld 3,3 meter (of nauwkeuriger). In dit geval is 3,32 m dus ook goed. Maar let op! Een nauwkeuriger antwoord moet in de context wel passend zijn. ‘Oh, nee! Wat nu weer!’ hoor ik je al denken.

 

Welke probleemsituaties laten een nauwkeuriger antwoord toe en welke niet?

Dit kan ik alleen maar duidelijk maken door enkele voorbeelden te geven.

Vb1) Als je uitrekent hoeveel iemand moet betalen voor zijn boodschappen in een supermarkt, dan kun je niet het antwoord € 117,958 geven. Deze context staat absoluut geen drie decimalen toe.

 

Vb2) Energietarieven worden vaak op 4 decimalen weergegeven. Dit zul je dan ook zien in het verhaaltje bij de som. Je kunt dan bijvoorbeeld wel uitkomen op een tarief van 0,2081 euro per KWh.

 

Vb3) Het gemiddelde aantal personen per huishouden mag wel met cijfers achter de komma.

 

Vb4) Bij hele kleine kansen, van bijvoorbeeld 0,00000582 rond je af op het eerste cijfer dat geen nul is, dus in dit geval krijg je 0,000006. Dit geldt ook voor hele kleine percentages, hoeken, groeifactoren en eigenlijk alles waar een getal uit komt dat heel dicht bij 0 zit.

 

Wanneer zijn de gebruikelijke afrondingsregels niet van toepassing?

De gebruikelijke afrondingen zijn bijvoorbeeld in de volgende situaties niet van toepassing:

  • Stel t=0 op 1 januari 2001. Je hebt uitgerekend dat je bedrag verdubbeld is op t=5,3. Dat zou afgerond na 5 jaar zijn. Maar als de vraag is: Op 1 januari van welk jaar is het bedrag voor het eerst verdubbeld? Dan moet je concluderen dat dit op 1 januari 2005 nog niet het geval was en pas voor het eerst op 1 januari 2006. In dit geval moet je dus naar boven afronden.
  • Gegeven de vraag voor welke gehele x, de y waarde voor het eerst groter is dan 500. Als je nu als antwoord krijgt x = 10,2589745, dan moet je ook weer concluderen dat de y waarde voor x = 10 nog geen 500 is en dus pas voor x = 11 voor het eerst groter is dan 500.
  • De volgende vraag: we gaan met 100 personen (91 leerlingen en 9 docenten) op schoolreisje. In een bus passen 30 mensen. Hoeveel bussen zijn er nodig? Je rekent uit 100:30 = 3,333… Dit moet afgerond worden naar boven. 3 bussen is namelijk niet genoeg. Dan kunnen er maar 3 x 30 = 90 mensen mee. We hebben dus 4 bussen nodig.
  • Als bij de kassa in de supermarkt iedere 10de klant een verrassing krijgt en er komen in een uur 99 klanten, hoeveel klanten hebben er dan een verrassing gekregen? Je rekent uit 99 : 10 = 9,9. In dit geval moet je afronden naar beneden. De tiende verrassing is nog niet uitgedeeld, want dan zouden er 10 x 10 = 100 klanten aan de kassa geweest moeten zijn.

 

Hoe zit het met tussentijds afronden?

Eigenlijk moet je nooit tussentijds afronden. Je schrijft op je blaadje gewoon het hele getal van je rekenmachine over (dit is eigenlijk ook een afgerond getal). Doorrekenen doe je vervolgens met ANS op je rekenmachine. Je rekenmachine rekent dan wel exact door. Helaas zijn ook hier toch weer uitzonderingen.

Ik herinner me een som waarbij een partij bloemen werd verdeeld in drie categorieën. De eerste zoveel procent waren te slecht om te verkopen, deze werden weggegooid. De tweede zoveel procent ging naar de winkels en bracht 2 cent per bloem op. De derde groep werd voor bloemstukken voor bruiloften gebruikt en deze brachten 4 cent per bloem op. Het doel was om uit te rekenen hoeveel de hele partij opbracht. Hiervoor moest je eerst uitrekenen hoeveel bloemen er in iedere categorie zaten. Bij het verdelen van de bloemen in categorieën moest je tussentijds afronden op hele bloemen, want in zo’n groep kunnen geen halve bloemen zitten.

 

Conclusie:

Nou, nou, het afronden op het examen blijkt een studie op zich te zijn. Ik hoop dat je hier iets aan hebt op je examen. De belangrijkste boodschap die je moet onthouden is dat je goed moet nalezen of er in de vraag iets staat over afronden. Staat dit er niet, dan bedenk je wat gebruikelijk is bij de betreffende eenheid en je bekijkt hoe de getallen met dezelfde eenheden in de probleemsituatie zijn afgerond. Jij gebruikt dan dezelfde nauwkeurigheid of 1 cijfer extra. Let er goed op dat je in sommige situaties altijd naar boven of juist naar beneden moet afronden. Dit is vooral bij vragen waar wordt gevraagd wanneer iets voor het eerst groter is dan … (vaak wordt ook het woord minstens gebruikt). Tussentijds in principe niet afronden, behalve als het echt onlogisch is. Je hebt in de afgelopen 5 of 6 jaar bepaalde eenheden zo vaak gezien, dat je ook een beetje op je gezonde verstand mag vertrouwen. Want ergens voel je vaak wel aan wat logisch is en weet je ook wel dat je bijvoorbeeld procenten vaak op gehelen of op 1 decimaal ziet staan in een tekst.

 

Heel veel succes met alle examens!!!

Please follow and like us:
Afronden op het havo/vwo wiskunde examen

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *